Diremos que la proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa.
En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Ejemplo
Si un tren tarda horas en recorrer kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?
Primero observamos que es un caso de proporción directa ya que a más horas mas kilómetros recorrerá el tren. La respuesta se puede deducir mentalmente, puesto que si el tren tiene que recorrer el doble de distancia también tardará el doble de tiempo, con lo que necesitará h para recorrer los km. La deducción es correcta, pero veamos como se resuelve aplicando la regla de tres para proporciones directas.
Tenemos la siguiente relación:
Es decir, si en h se recorren km, en h se recorrerán .
Observamos que la relación también puede expresarse siguiendo el modelo de igualdad entre fracciones usado para describir el concepto de proporción:
Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan en fracciones distintas: el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro.
Ahora sólo hay que despejar para hallar la solución:
Por tanto el tren tardará horas en recorrer km.
Ejemplo
Si el kilo de cerezas va a €, ¿cuánto costará comprar medio kilo?
Tenemos una proporcionalidad directa puesto que a menos kilos que compremos más barato nos costará.
Tenemos la relación de proporcionalidad:
Aplicando la regla de tres tenemos:
€
Es decir, medio kilo de cerezas costarán la mitad que un kilo.
Proporción inversa
Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Ejemplo
Si agricultores tardan días en arar un campo, ¿cuánto tardarán agricultores en realizar el mismo trabajo?
Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo.
Para resolverlo se aplica la regla de tres como se ha enseñado:
Y se resuelve:
días
Es decir, mientras que dos agricultores tardan días, con la ayuda de otros compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo días
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
1.1- Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
Ejemplo 2:
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.
Solución:
Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:
Si expresamos las variables dadas en el problema:
Ahora reemplazamos y resolvemos:
Con este resultado reemplazamos :
Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :
A = a • b
Por lo tanto la respuesta sería :
A = 40 • 24 = 960
Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2
Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:
Ejemplo 3:
Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?
En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:
1° se considera el total de vehículos: 33
2° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7= 11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).
3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.
Respuesta: Hay 12 automóviles
Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores: (haz clic tres veces para comprobar tu respuesta)
a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?
Respuesta: Los números son 4 y 6
b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color? Respuesta: 6 azules y 15 rojas
c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños y niñas conforman el taller? Respuesta: En el taller de guitarra hay 14 niños y 16 niñas.
2- Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.
2.1- Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:
Ejemplo:
Si tenemos la proporción:
Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.
Las matemáticas, esa ciencia abstracta, esa asignatura complicada, esa materia a veces incomprensible, esconden auténticas maravillas que algunos han olvidado y otros ni siquiera han conocido. Uno de los objetivos de este blog es mostraros esas perlas que en ocasiones permanecen ocultas a los ojos de la mayoría. Y este artículo os va a descubrir una de ellas: la fórmula de Euler.
¿Qué es un poliedro?
Un poliedro es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra un volumen finito. Los segmentos que unen dos caras se denominan aristas y los puntos en los que se cortan varias aristas se llaman vértices.
Podemos encontrar multitud de ejemplos de poliedros en la vida diaria:
-Una caja de zapatos,
-Un libro,
-Un balón de fútbol,
-…
De entre todos los poliedros hay un conjunto de ellos que es especialmente interesante: los poliedros convexos. Este tipo de poliedros cumple que para cada par de puntos que se encuentran dentro del poliedro, el segmento que los une se encuentra también dentro del mismo. Por ejemplo, una caja de zapatos
es un poliedro convexo, pero una figura de este tipo
no lo es (aunque sí es un poliedro).
Los poliedros regulares son un conjunto de poliedros convexos muy particular. Concretamente, un poliedro regular es un poliedro convexo que tiene todas sus caras iguales y sus ángulos poliédricos (ángulos formados por tres o más aristas) también iguales. Solamente existen cinco poliedros regular, de los cuales el tetraedro es el menor en lo que al número de caras se refiere. Los otros cuatro son el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Aparte de los ya mencionados, existen multitud de tipos de poliedros: poliedros estrellados, poliedros de Catalan, sólidos arquimedianos, sólidos de Johnson, etc. Para más información sobre tipos de poliedros y sus desarrollos planos podéis descargarlos el programa Poly.
La fórmula de Euler
Tomad una caja (poliedro convexo) que tengáis en casa, por ejemplo una caja de zapatos. Contad el número de caras, aristas y vértices de la misma. Veréis que dicha caja tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices. Ahora tomad el número de caras, restadle el número de aristas y sumadle al resultado el número de vértices. El resultado es .
Probemos otra cosa. Cortemos un pico a la caja. Obtenemos así una cara más (para un total de 7), dos vértices más ya que desaparece uno pero aparecen tres (tenemos en total 10) y tres aristas nuevas (ahora hay 15). Realicemos la misma operación: .
Dividamos ahora cualquier cara en el número de partes que queramos. Contemos ahora cuántas, caras, aristas y vértices tiene la figura obtenida. El resultado de la operación anterior es….
Pero dejemos ya la caja. Echad un ojo por ahí y buscad otro objeto que cumpla con la definición de poliedro convexo y realizad la misma operación: caras menos aristas más vértices. El resultado es…sí, efectivamente, .
Podéis probar con cualquier cosa que tengáis en casa que sea un poliedro convexo. Siempre obtendréis el mismo resultado: .
Este resultado es conocido como fórmula de Euler:
En un poliedro convexo con caras, aristas y vértices se cumple que:
La cantidad de figuras que cumplen la definición de poliedro convexo es tan enormemente grande que parece increíble que tengan una característica común. Este hecho tan sorprendente hace que califique a la fórmula de Euler como maravilla matemática. Y, cómo no, tuvo que ser el gran Leonhard quien nos abriera los ojos, como tantas veces.
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n
Término
Prueba
1
3
2n = 2×1 = 2
2
5
2n = 2×2 = 4
3
7
2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
Término
Regla
1
3
2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2
5
2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3
7
2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Posición del término
Es normal usar xn para los términos:
xn es el término
n es la posición de ese término
Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
.
.
caras, 
aristas y 
vértices se cumple que:
