Razones y proporciones

Fórmula de Euler

Introducción

Las matemáticas, esa ciencia abstracta, esa asignatura complicada, esa materia a veces incomprensible, esconden auténticas maravillas que algunos han olvidado y otros ni siquiera han conocido. Uno de los objetivos de este blog es mostraros esas perlas que en ocasiones permanecen ocultas a los ojos de la mayoría. Y este artículo os va a descubrir una de ellas: la fórmula de Euler.

¿Qué es un poliedro?

Un poliedro es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra un volumen finito. Los segmentos que unen dos caras se denominan aristas y los puntos en los que se cortan varias aristas se llaman vértices.

Podemos encontrar multitud de ejemplos de poliedros en la vida diaria:

-Una caja de zapatos,
-Un libro,
-Un balón de fútbol,
-…

De entre todos los poliedros hay un conjunto de ellos que es especialmente interesante: los poliedros convexos. Este tipo de poliedros cumple que para cada par de puntos que se encuentran dentro del poliedro, el segmento que los une se encuentra también dentro del mismo. Por ejemplo, una caja de zapatos

es un poliedro convexo, pero una figura de este tipo

no lo es (aunque sí es un poliedro).

Los poliedros regulares son un conjunto de poliedros convexos muy particular. Concretamente, un poliedro regular es un poliedro convexo que tiene todas sus caras iguales y sus ángulos poliédricos (ángulos formados por tres o más aristas) también iguales. Solamente existen cinco poliedros regular, de los cuales el tetraedro es el menor en lo que al número de caras se refiere. Los otros cuatro son el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Aparte de los ya mencionados, existen multitud de tipos de poliedros: poliedros estrellados, poliedros de Catalan, sólidos arquimedianos, sólidos de Johnson, etc. Para más información sobre tipos de poliedros y sus desarrollos planos podéis descargarlos el programa Poly.

La fórmula de Euler

Tomad una caja (poliedro convexo) que tengáis en casa, por ejemplo una caja de zapatos. Contad el número de caras, aristas y vértices de la misma. Veréis que dicha caja tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices. Ahora tomad el número de caras, restadle el número de aristas y sumadle al resultado el número de vértices. El resultado es .

Probemos otra cosa. Cortemos un pico a la caja. Obtenemos así una cara más (para un total de 7), dos vértices más ya que desaparece uno pero aparecen tres (tenemos en total 10) y tres aristas nuevas (ahora hay 15). Realicemos la misma operación: .

Dividamos ahora cualquier cara en el número de partes que queramos. Contemos ahora cuántas, caras, aristas y vértices tiene la figura obtenida. El resultado de la operación anterior es….

Pero dejemos ya la caja. Echad un ojo por ahí y buscad otro objeto que cumpla con la definición de poliedro convexo y realizad la misma operación: caras menos aristas más vértices. El resultado es…sí, efectivamente, .

Podéis probar con cualquier cosa que tengáis en casa que sea un poliedro convexo. Siempre obtendréis el mismo resultado: .

Este resultado es conocido como fórmula de Euler:

En un poliedro convexo con  caras,  aristas y  vértices se cumple que:

La cantidad de figuras que cumplen la definición de poliedro convexo es tan enormemente grande que parece increíble que tengan una característica común. Este hecho tan sorprendente hace que califique a la fórmula de Euler como maravilla matemática. Y, cómo no, tuvo que ser el gran Leonhard quien nos abriera los ojos, como tantas veces.

Sucesiones

Sucesiones y series

Puedes leer una introducción sencilla a las sucesiones en pautas comunes de números.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

 

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

	Posición del término
	Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término
	Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 2ⁿ

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3ⁿ

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es x_n = 4 × 2^-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. 

La regla es x_n = n²

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. 

La regla es x_n = n³

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

	Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
	Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Método 1 de división de fracciones: Multiplicar en cruz

Este método consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y el resultado colocarlo en el numerador de la fracción final. Por otro lado, tenemos que multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción final.
Se llama método de la cruz por el siguiente esquema:

En amarillo: Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. El resultado se escribe en el numerador.

En verde: Se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado de escribe en el denominador.

Método 2 de división de fracciones: Invertir y multiplicar

Este método consiste en invertir la SEGUNDA FRACCIÓN, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar el numerador por el denominador. Después, se multiplican las dos fracciones.
Recuerda que para multiplicar fracciones se hace en línea: Numerador por numerador y denominador por denominador.

Siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que invertir la segunda fracción, por lo tanto  cambiamos el 7 por el 5 y el 5 por el 7. Ahora cambiamos la división por una multiplicación.
Para multiplicar las dos fracciones tenemos que multiplicar el línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

 
Fuente: https://www.smartick.es/blog/matematicas/fracciones/division-de-fracciones/ 

 En el siguiente video se resume el proceso:




JUGUEMOS Y PRACTIQUEMOS:

1. Dividir fracciones entre naturales

2. Dividir naturales entre fracciones

3. Dividir fracciones no simples

4. Dividir fracciones nivel 1

5. Dividir fracciones avanzado

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar fracciones se realiza en forma lineal, es decir se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con denomionadores

Cuando es posible se simplifica en el proceso para que la respuesta esté expresada en su mínima expresión.
Revisamos el proceso con los ejemplos de los videos:





JUGUEMOS Y REPASEMOS:

1. Multiplicación de fracciones simples

2.  Multiplicaciones de fracciones no simples

3. Multiplicaciones con simplificación nivelinicial

4. Multiplicaciones con simplificación nivel avanzado

5. Simplifiquemos fracciones

OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS: REPASO DE SUMA Y RESTA

Suma y Resta de fracciones con el mismo denominador (homogéneas)

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador se SUMA/RESTA LOS NUMERADORES y se CONSERVA el mismo denominador.

Por ejemplo:

Como las fracciones tienen el mismo denominador, lo que tenemos que hacer es dejar el mismo denominador, y sumar  o restar los numeradores:

 Observemos el video que explica el proceso

Suma y Resta de fracciones con diferente denominador (heterogéneas)

 Para sumar o restar fracciones con diferente denominador debemos a estas fracciones transformarlas en homogéneas es decir que todas tengan el mismo denominador y luego realizar las operaciones como homogéneos.

Observemos el video que explica el proceso



EJERCICIOS Y JUEGOS CON FRACCIONES:
1. GRAFICANDO FRACCIONES
2. EJERCICIOS DE SUMA Y RESTA
3. JUGANDO CON SDUMA Y RESTA
4. JUGUEMOS CON LAS CUATRO OPERACIONES CON FRACCIONES

Números Romanos

¿Sabías que nuestros números vienen del sistema de numeración árabe? ¿Sabías que existen otros sistemas de numeración distintos?

Antes de que los árabes trajesen su sistema de numeración a Europa (y de Europa a América y el resto del mundo), hace mucho tiempo, en la Antigua Roma, los romanos inventaron un sistema de numeración que todavía seguimos utilizando para algunas cosas. Son lo que llamamos números romanos.

¿Cómo se utilizan los números romanos?

Los números romanos están formados a partir de letras: X, L, I, C, D… Cada letra tiene un valor numérico:

Para representar números romanos, debemos utilizar estas letras, combinándolas y ordenándolas. Hay que seguir algunas normas:

• Los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.

• Cuando se coloca un símbolo de valor menor a la izquierda de otro, se resta.

• Los símbolos 5 y sus múltiplos (V, L, D) siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.

• Se permiten como mucho tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo.

• Un símbolo que aparece restando solo se puede repetir cuando su repetición esté colocada a más de un símbolo de distancia a su derecha.

• Solo se puede restar un símbolo de tipo 1 (I, X, C, M) sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5 (V, L, D).

Normas para utilizar correctamente los números romanos:

• El símbolo I solo puede restar a V y a X.
• El símbolo X solo puede restar a L y a C.
• El símbolo C solo puede restar a D y a M.

Después de todas las explicaciones de más arriba, te habrás dado cuenta de que para usar correctamente los números romanos es muy importante saber sumar y restar bien, ¡usamos todo el rato estas dos operaciones cuando escribimos un número romano!

¿Para qué se utilizan los números romanos?

Hoy en día, seguimos utilizando los números romanos para algunas cosas. Por ejemplo, en los siguientes casos:

• Para nombrar los siglos:

Estamos en el siglo XXI

La Revolución francesa ocurrió en el siglo XVIII

Miguel Ángel pintó la Capilla Sixtina en el siglo XVI

• Para nombrar a los reyes:

Fernando II de Aragón se casó con Isabel I de Castilla

El sucesor de Felipe IV fue Carlos II

• Para numerar los tomos o partes de algunos libros o películas:

Ayer vi en la televisión El padrino II

• Para aniversarios, reuniones o festejos que se celebran periódicamente:

El Ayuntamiento está organizando el IV certamen de fotografía juvenil

Los números romanos: I, V, X, L, C, D, M - Matemáticas de primaria. (2018). Retrieved from https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/los-numeros-romanos/

Juegos interactivos:

1. Numeración Romana
2. Juego 1
3. Juego 2
4. Repaso ejercicios