Conceptualización de proporcionalidad directa e inversa

Proporción directa

Diremos que la proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa.

En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:

Ejemplo

Si un tren tarda  horas en recorrer  kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?

Primero observamos que es un caso de proporción directa ya que a más horas mas kilómetros recorrerá el tren. La respuesta se puede deducir mentalmente, puesto que si el tren tiene que recorrer el doble de distancia también tardará el doble de tiempo, con lo que necesitará h para recorrer los km. La deducción es correcta, pero veamos como se resuelve aplicando la regla de tres para proporciones directas.

Tenemos la siguiente relación:

Es decir, si en  h se recorren km, en  h se recorrerán .

Observamos que la relación también puede expresarse siguiendo el modelo de igualdad entre fracciones usado para describir el concepto de proporción:

Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan en fracciones distintas: el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro.

Ahora sólo hay que despejar  para hallar la solución:

Por tanto el tren tardará  horas en recorrer km.

Ejemplo

Si el kilo de cerezas va a  €, ¿cuánto costará comprar medio kilo?

Tenemos una proporcionalidad directa puesto que a menos kilos que compremos más barato nos costará.

Tenemos la relación de proporcionalidad:

Aplicando la regla de tres tenemos:

€

Es decir, medio kilo de cerezas costarán la mitad que un kilo.

Proporción inversa

Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:

Ejemplo

Si  agricultores tardan  días en arar un campo, ¿cuánto tardarán agricultores en realizar el mismo trabajo?

Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo.

Para resolverlo se aplica la regla de tres como se ha enseñado:

Y se resuelve:

días

Es decir, mientras que dos agricultores tardan  días, con la ayuda de otros compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo  días

Proporción directa e inversa

Razones y proporciones

1- Razón

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Ejemplo:

En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?

La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de  "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

 

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

1.1- Resolución de problemas:

Veamos cómo resolver problemas de razones:

Ejemplo 1:

La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.

Solución:

Si las edades son a y b

Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

Ahora volvemos a los datos del problema:

Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

Ejemplo 2:

El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.

Solución:

Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

Si expresamos las variables dadas en el problema:

Ahora reemplazamos y resolvemos:

Con este resultado reemplazamos :

Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :

A = a • b

Por lo tanto la respuesta sería :

A = 40 • 24  = 960

Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm²

Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:

Ejemplo 3:

Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?

En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:

1° se considera el total de vehículos: 33

2° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7= 11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).

3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.

Respuesta: Hay 12 automóviles

Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores: (haz clic tres veces para comprobar tu respuesta)

a) Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los números?

Respuesta: Los números son 4 y 6 

b) Martín tiene cinco fichas rojas por cada dos azules. Si tiene 21 fichas en total, entre rojas y azules, ¿Cuántas fichas tiene de cada color?  Respuesta: 6 azules y 15 rojas

c) A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños, ¿cuántos niños y niñas conforman el taller? Respuesta: En el taller de guitarra hay 14 niños y 16 niñas.

2- Proporciones

Una proporción es la igualdad de dos razones.

2.1- Propiedad fundamental 

En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:

Ejemplo:

Si tenemos la proporción: 

Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:

3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60

Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.

Razones y proporciones